Dati:

• Potenza da fornire all'asse:  P=  100 MW
• Salto motore:                     Hm=  110 m
• Rendimento volumetrico:    rv=    0,99
• Rendimento meccanico:     rm=   0,99
• Rendimento idraulico:           ri=   0,92
• Ingombro delle pale:          psi=   0,96 (valore fisso del programma, non impostabile)
• Coeff. di non-monodimensionalita' del flusso    fi = 0,95 (anch'esso fisso, non impostabile)

• Velocita' di rotazione della turbina;
• Diametri in ingresso e in uscita della girante (due diametri per l'ingresso e due per l'uscita), altezza delle pale;
• Triangoli delle velocita' in ingresso e in uscita;
• Grado di reazione e salti di pressione a cavallo delle singole parti della macchina;

1) Calcolo della velocita' di rotazione n:

Occorre calcolare il numero di giri caratteristico nc e la portata Q

Dal diagramma 1, in corrispondenza di Hm=110 m si legge nc=192;
Q si calcola da   Q=P*1000/(9.81*Hm*ri*rv*rm);

Noti Q e nc, dalla relazione   nc=3,65 * n * sqrt(Q) / (Hm ^ 0,75)   (definizione di numero di giri catratteristico)
e' possibile ricavare la velocita' di rotazione n, che per il caso in esame risulta n=176,15 giri/min (o RPM).
 
 
 

Dal diagramma 2, in corrispondenza di nc=192, si leggono i coefficienti di velocita' periferica in ingresso k1i = 0,71  e   k1e = 0,79.
Noto il legame tra coefficienti di velocita' periferica e velocita' di trascinamento si calcolano le velocita' di trascinamento in ingresso
u1i=k1i*sqrt(2*9,81*Hm) ;
u1e=k1e*sqrt(2*9,81*Hm) ;

Nel nostro caso u1i = 32,97 m/s    e  u1e = 36,68 m/s.
 
 

Ora D1i = (60/3.141) * u1i/n ;
       D1e = (60/3.141) * u1e/n ;

Nel nostro caso D1i = 3,57 m   e  D1e = 3,97 m.
 

3) Calcolo dell' altezza della pala b:

Dal diagramma 2, nella quale e' rappresentato anche b/D1e in funzione di nc, ricaviamo in corrispondenza di nc=192
b/D1e = 0,24      da cui        b= 0,954 m.
 

VELOCITA' DI TRASCINAMENTO MEDIA "u1m":
Occorre riferirsi alle grandezze medie:
Diametro medio in ingresso   D1m= (D1i+D2i)/2  = 3,776 m;
Velocita' di trascinamento media in ingresso  u1m = (u1i + u1e)/2 = 34,82 m/s;
 

VELOCITA'  ASSOLUTA DEL FLUIDO "v1" e angolo "alfa1" formato con "u1m":
Calcoliamo ora  la velocita' assoluta del fluido in ingresso "v1" e l'angolo tra v1 e u1m "alfa1" dal sistema:

Q= 3.141 * D1m * b * v1 * sin(alfa1) * (fi*psi/rv)         and           ri=u1m*v1*cos(alfa1)/(9,81*Hm);

(Quest' ultima relazione e' valida solo nell'ipotesi di scarico assiale).
Sostituiamo, poi dividiamo membro a membro in modo da ottenere direttamente un'espressione di tan(alfa1)

Risulta infine per il nostro caso    alfa1 = 19,19 deg     e        v1 = 30,09 m/s.
 
 

VELOCITA'  RELATIVA DEL FLUIDO "w1" e angolo "beta1" formato con "u1m":
Determiniamo il modulo di w con il teorema di Carnot:
w^2 = u1m^2  +  v1^2  - 2 * u1m * v1 * cos (alfa1);

Nel nostro caso w1 = 11,79 m/s;
 
 

Calcoliamo beta1 con il teorema dei seni:

w1/sin(alfa1) = v1 / sin(beta1);

da cui, nel nostro caso,  beta1 = 57,02 deg.

 
 
 
 

Dal diagramma 2, in corrispondenza di nc=192, leggiamo i coefficienti di velocita' periferica all'uscita k2i = 0,36 e k2e =0,76;
Ora u2i=k2i * sqrt(2*9,81* Hm);
Ora u2e=k2e * sqrt(2*9,81* Hm);

Nel nostro caso risultano     u2i = 16,72 m/s      e       u2e = 35,28 m/s.

Da cui   D2i = (60/3.141) * u2i / n;
             D2e =(60/3.141) * u2e/ n.

Nel nostro caso risultano     D2i = 1,809 m      e       D2e = 3,817 m.
 
 

 

VELOCITA' DI TRASCINAMENTO MEDIA "u2m":
Calcoliamo il coefficiente di velocita' periferica medio:
k2m = (k2i+k2e)/2  che nel nostro caso vale k2m = 0,56.

Ora u2m=k2m * sqrt(2*9,81* Hm);

Nel nostro caso risulta u2m= 26,0 m/s.
 
 

VELOCITA'  ASSOLUTA DEL FLUIDO "v2" e angolo "alfa2" formato con "u2m":
Eseguiamo un calcolo approssimato con l'equazione di continuita', trascurando le dissipazioni.

Immaginiamo che il diametro della sezione di uscita sia
D2e = 3,817 m      (qui introduciamo l'approssimazione)

da cui la sezione di uscita risulta
S2 = (3.141/4) * D2e^2 * psi * fi / rv;
Nel nostro caso S2 = 10,98 metri quadrati.

Nota Q, con l'equazione di continuita' Q=S2*v2 calcoliamo v2:
v2=Q/S2  , nel nostro caso  v2 = 9,37 m/s.

L'angolo "alfa2" e' di 90 gradi per ipotesi (ipotesi di scarico assiale).
 

VELOCITA'  RELATIVA DEL FLUIDO "w2" e angolo "beta2" formato con "u2m":
Determiniamo il modulo di w2 con il teorema di Pitagora:
w2^2 = u1m^2  +  v1^2 ;

Nel nostro caso w2 = 27,57 m/s;

 
Dalla definizione di tangente di un angolo:
tan(beta2) = v2 / u2m;

da cui, nel nostro caso,  beta2 = 19,43 deg.

 
 
 

 

 
Dalle formule che legano le velocita' alle energie scambiate otteniamo:
Grado di reazione:
r=(((u1m^2-u2m^2)/(2*9.81))+((w2^2-w1^2)/(2*9.81)))/(hm/ri); (adimensionale)

Pressione totale a cavallo della macchina:
pt=((hm/ri)*9.81)/100000; (pressione in bar)

e infine
pg = r * pt;       (dalla definizione di grado di reazione)

pd = pt- pg;     (per differenza)